张祥前《统一场论第六版》

三十二.证明惯性质量等价于引力质量

牛顿力学认为，惯性质量反映了物体不容易被加速的程度，而引力质量反映了加速别的物体的能力。

在以上的o点相对于我们观察者静止情况下，附近有一个质量为m’的o’点，受到o点的引力F的作用，会使o’点有一个指向o点加速度- A，并且

F = - m’A

牛顿在没有给出解释的情况下，把式F = - m’A中的惯性质量m’和式F = - (g m m’/r²)【R】中的引力质量m’等同起来，有了下式：

A = - （g m /r²）【R】

r是R的数量，【R】沿R的单位矢量。这个就是人们常说的惯性质量等价于引力质量。下面我们来给出证明。

由前面的时空方程R = Ct，将R对时间求导，结果是光速度C，如果光速是标量，再次对时间t求导结果是零。在统一场论中认为光速可以为矢量，光速作为矢量方向是可以变化的，再次求导结果不是零。

在这里，我们考虑的是引力场方程A = k g n R/Ωr³中R的方向变化，而R的数量r不变。

方程A= k g n R/Ωr³可以写为A= k g n R/r Ωr²，我们在高斯面s = Ωr²上适当的分割出一小块面积d（Ωr²） = ds，恰巧只有一条几何点的矢量位移R = Ct 垂直穿过，这样n =1, 有方程：

A= k g dn R/ r d(Ωr²）= k g dR / r d(Ωr²）

A 【r d(Ωr²）】= k g dR

a (r dS） = k g dR

上式中a为引力场A的数量，dS为矢量面元，方向和R一致。

设R和矢量面元dS与高斯面s =Ωr²的角度为θ，我们这里考虑的是R的方向变化，所以R和dS都是θ的函数，随θ的变化而变化，这样有方程：

a 【r dS（θ）】 = k g dR（θ）

将上式左边的变量dS和右边的变量R同时对变量θ求微分，结果为：

a 【r d(dS）】 = k g d²R

上式也可以写为：

A = k g d²R/ r d(ds） = k g d²R/ r d(dΩr²）

令dΩr² = ds为矢量面元dS的数量，dS的方向和R一致，我们其实现在考虑的是r为一个固定值，在r的端点，也就是以上所说的空间p点，dR和dS之间相对应变化，这样引力场方程为：

A = k g d²R / r d(d s)

由于高斯面s =Ωr²，时空方程中r²= c²t²，所以

由A = kg d²R / r d(dΩr²)可以导出A = k g d²R /r dΩ c²t² = kg d²R / rΩ c² dt²

由于这里的立体角度Ω和r是固定量， k, g，c是常数。所以上式合并常数后，在p点处的几何点的加速度d²R / dt²可以等价于这里的引力场。这个表明惯性质量等价于引力质量。