张祥前《统一场论第六版》

二十六，从质量定义方程导出相对论质速关系。

相对论用动量守恒和相对论速度变换公式，可以导出相对论质速关系----质量随物体运动速度增大而增大。下面我们用质量的定义方程直接来导出质速关系。

设想一个质量为m’的质点o，一直静止在s’系的坐标原点o’上。

s系相对于s’系以匀速度V【标量为v】沿x轴正方向运动，并且s系的x轴和s’系的x’轴相互重合。

在s系里的观察者看来o点的质量为m，我们用以上的质量几何定义方程g m ∮dΩ = ∮dn

来求出m和m’之间满足的数学关系。

当o点运动的时候，我们应该合理的认为，不会引起几何点矢量位移R的条数n的变化，只是有可能引起立体角度Ω的变化，所以，我们只要求出运动速度V和Ω之间满足的关系，就可以求出m’和m之间的关系。

立体角Ω的定义为：

在以o点为球心、半径r = 1的球面s上，分割一小块Δs，以Δs为底面，以o点为顶点，构成一个锥体h，则Δs等于圆锥体h的立体角。

锥体h的立体角Ω大小为椎体的底面积Δs与球的半径r平方之比，当Δs无限的小，变成了ds，有：

dΩ = ds/r²

当r = 1时候，上式变成了dΩ = ds。

以上是用椎体的底面积来定义立体角，现在我们把以上的立体角定义推广，用椎体的体积来定义立体角。

在以o点为球心、半径r = 1的球面s上，分割一小块Δs，以Δs为底面，以o点为顶点，构成一个锥体h，则椎体h的体积Δv等于圆锥体h的立体角。

锥体h的立体角Ω大小为椎体的体积Δv与球的半径r立方之比，当Δv无限的小，变成了dv，有：

dΩ = dv/r³

当r = 1时候，上式变成了dΩ = dv。

有了以上的准备知识，我们来考虑以上的o点在s’系里，静止时候质量

m’ = ∮dn/g∮dΩ’

我们用一个半径为1的单位球体积dv’替代上式中的dΩ’，

m’ = ∮dn/g∮dv’

相应的在s系里，o点以速度V运动的时候，质量

m = ∮dn/g∮dv

注意，n在s’系和s系里是一样的，也就是o点的运动速度V不能改变几何点位移的条数n。

我们只要求出dv’= dx’dy’dz’和dv = dxdydz之间的关系，就可以求出m和 m’之间的关系。

根据相对论中的洛伦茨变换【这种变换统一场论证明是正确的】：

x’ = （x - vt ）/[√（1- v²/c²）]

y’ = y

z’ = z

t’ = (t - v x/c²)/[√（1- v²/c²）]

得出微分式：

dx’ = dx/[√（1- v²/c²）]

dy’ = dy

dz’ = dz

由此得出：

m’ = ∮dn/g∮dv’ = ∮dn/g∮dx’dy’dz’

m = ∮dn/g∮dv = ∮dn/g∮dxdydz

由∮dx’dy’dz’ = ∮dxdydz/[√（1- v²/c²）]

可以导出：

m’ = m√（1- v²/c²）

当o点以速度V运动的时候，质量增大了一个相对论因子√（1- v²/c²），这个结果和相对论是一致的。