张祥前《统一场论第六版》

二十四.引力场和质量的定义方程

设想有一个质点o相对于我们观测者静止，周围空间中任意一个空间几何点p，在零时刻以矢量光速度C从o点出发，沿某一个方向运动，经历了时间t，在t'时刻到达p所在的位置。让点o处于直角坐标系xyz的原点，由o点指向p点的矢径R由前面的时空同一化方程给出：
R = C t = x i+ y j + zk
R是空间位置x，y，z和时间t的函数，随x，y，z，t的变化而变化，记为：
R = R（x,y,z，t）。
我们以 R = Ct中R的标量长度r为半径，作高斯球面s =4πr²包围质点o。
o点周围在高斯球面s = 4πr²上有n条几何点的位移矢量R = Ct均匀的、垂直的穿过，o点在周围p点处产生的引力场A【数量为a】为：

A = - n[R/r]/ 4πr²

a = n/- 4πr²

上式负号 - 表示引力场A和几何点的位移R的方向正好相反， r是矢量位移R的标量长度，R/r是矢量R的单位矢量。

我们把高斯球面s = 4πr²分割成许多小块，我们选择其中的一小块面积Δs，我们考察发现Δs上有Δn条几何点的位移矢量R= Ct垂直的穿过，这样引力场A可以写为：

A = - Δn[R/r]/Δs

这个式子的物理意义告诉我们，高斯球面s = 4πr²其中一小块面积Δs上，垂直穿过矢量位移R的密度反映了该处的引力场强度。

为什么上式中用R的单位矢量R/r，而不用矢量R，是因为我们在高斯面s上只能考察矢量R的方向和条数，而不能考察矢量R的长度，所以Δn R/Δs这个式子是没有物理意义的。

由于o相对于我们是静止的，周围空间的运动、分布是均匀的，我们应该合理的认为在这种情况下，空间是连续的，无限可分，所以，以上的式中的n可以取无穷大。

按照这种思想，我们假定式A = -Δn[R/r]/Δs中R/r是常数，只有Δn和Δs之间相对应变化，这样可以由上式导出引力场方程的一种微分形式：

A = - dn[R/r]/ds

上式的d是微分符号。

如果我们假定Δn是常数，特别是我们把Δn设定为常数1，只考虑Δs和[R/r]之间相对应变化，这样我们有了引力场方程的另一种微分形式：

A = - n d[R/r]/ds = - d[R/r]/ds

由引力场的定义方程A = - n[R/r]/ 4πr²还可以导出：

A = - n R/ 4πr³

我们再来分析上式的物理意义。

这个式子反映了什么样的物理意义？是不是说，在高斯球面s = 4πr²内接球体积内包含了n条几何点总的矢量位移nR，二者的比值就是o点周围的引力场强度A？

可是高斯球面s = 4πr²内接球体积是（4πr³/3），而不是式A = - n R/4πr³中的4πr³，如何看待这个矛盾？

这个原因是我们不能把nR看成是o点周围运动空间总的运动量，nR表示n条矢量位移R的相互叠加。由于o点周围的R的方向不一样，是以o点为中心，向四周均匀的发散式分布，n条R相互叠加的结果必然是零。

只有当n = 1或者很小的时候，n条R的方向一致或者接近一致，nR的叠加才具有物理意义。

为了进一步说明问题，我们把场论的高斯散度方程：

∯（A·dS ）= ∫∫∫（▽·A）dv

用到以上的引力场方程A = - n R/ 4πr³中。

上式中∯是高斯球面积分，A是矢量引力场，dS是矢量面元，是高斯球面s = 4πr²上的一小块，∫∫∫是球体积分，▽是微分算符，dv= dxdydz, 是o点周围空间中一小块体积。

▽·A表示引力场A的散度。

式∯（A·dS ）= ∫∫∫（▽·A）dv左边是面积分，右边是面积分包围的体积分，积分区域都是0到4π。

上式的物理意义是：方程左边穿过高斯球面s的几何点位移的总条数n，和方程右边高斯球面内接球体积∫∫∫dv所包含几何点位移的总条数n是相等的。

在o点静止的时候，我们用高斯球面s和几何点的运动量

nR来考察引力场A的话，我们把以上的引力场方程

A = -n[R/r]/ 4πr²【标量形式a = n / - 4πr²】带到高斯散度方程∯（A·dS ）= ∫∫∫（▽·A）dv中的左边。注意ds是矢量面元dS的的标量形式。

把引力场方程A = - n R/4πr³带到高斯散度方程右边，我们来看一看，高斯散度方程是否仍然成立？

我们第一步是把高斯散度方程

∯（A·dS ）= ∫∫∫ （▽·A）dv

的左边改成标量形式 ∯a ds

我们把引力场标量方程a = n/- 4πr²带入以上方程的左边，再把引力场方程A = - n R/4πr³带到以上高斯散度方程的右边，这样有：

∯（n/-4πr²）ds = ∫∫∫ [▽·（- n R/4πr³）]dv

∯（n/4πr²）ds = - ∫∫∫[▽·（n R/4πr³）]dv

n =（ n /4πr³）∫∫∫ [▽·R]dv

=（n /4πr³）∫∫∫ 3 dv

=（3 n /4πr³）∫∫∫dv

=（3 n /4πr³）(4πr³/3)

= n

以上结果告诉我们，引力场方程可以写成

A = -n[R/r]/ 4πr²【标量形式a = n/- 4πr²】和A = - n R/4πr³，两种形式是等价的，表示的物理意义都是高斯球面上穿过几何点位移条数的密度反映了引力场的强度。

我们再来看一看我们给出的引力场定义方程和质量之间的关系。

质量这个概念最早是牛顿力学提出了，牛顿第二定理提出了惯性质量的概念，万有引力定理定义给出了引力质量的概念。惯性质量反映了物体不容易被加速的程度，而引力质量是加速别的物体的能力。

我们很自然的认为，物体具有的引力质量与周围产生的引力场密切相关。

我们以上提出的引力场定义方程A = - n R/4πr³中，应该包含了牛顿万有引力定理中的引力质量。

我们用以上o点的例子来分析，牛顿万有引力定理给出o点在周围空间p处产生引力场A和o点质量m之间的关系为：

A = - g m R / r³

上式g是万有引力常数，由o点指向p点的矢径为R，r是矢量R的数量。

我们把牛顿引力场方程A = - g m R / r³和我们给出的引力场定义方程A = - n R/4πr³相比较，明显可以得出引力质量的定义方程：

m = n /4π g

我们再来分析以上的质量定义方程的物理意义，上式中g是常数，我们不需要考虑。

可以明显的看出，o点的质量表示在o点周围分布的矢量位移R的条数n与立体角度4π的比值。

这个质量定义方程m = n /4π g可以写为普遍的微分形式：

我们把立体角度4π换成一个可以变化的量，用立体角Ω【Ω的值在0和4π之间】表示。这样可以导出质量的微分方程和积分方程式。
m = dn / gdΩ

g m ∮ dΩ = ∮dn

g m 4π = n

m = n /4π g

∮是包围o点的立体角度积分，积分范围是从0到4π。

根据以上的分析，我们可以给出o点静止的时候引力场A的散度：

▽·A = n/∫∫∫dv = n/∫∫∫dxdydz

按照牛顿力学，o点静止的时候引力场A的散度为：

▽·A = 4π g m/∫∫∫dxdydz

注意，当o点运动的时候，以上两个散度方程需要修改。

人类已经认识到静止质点在周围产生的引力场旋度为零：

▽× A = 0